Стохастические игры

Доказательство. Покажем сначала единственность. Предположим, что существуют два вектора и , удовлетворяющих соотношениям (7). Пусть - номер компоненты, для которой

,

и пусть для определенности . Определим две матрицы и следующими соотношениями:

,.

Очевидно,

.

Из леммы 1 следует, что

.

Поскольку и удовлетворяют (6) и (7), то

,

что противоречит предпосылке и доказывает единственность.

Докажем существование. Доказательство конструктивное, основанное на построении последовательности векторов, сходящейся к требуемому вектору. Пусть - номер члена последовательности. Определим члены последовательности следующими соотношениями:

, (8)

, (9)

. (10)

Требуется доказать: 1) последовательность векторов сходится; предел этой последовательности удовлетворяет условиям (6), (7). Положим

. (11)

Поскольку выполняется (2) и множества индексов конечные, то существует и .

Если положить

,

то по лемме 1 следует, что и, следовательно, . Поэтому согласно признаку сходимости Коши последовательность должна сходиться к пределу, который обозначим через .

Пусть теперь

,

где

.

Покажем, что для всех . Действительно, на основании сходимости последовательностей для любого можно выбрать столь большим, что для всех выполнялись неравенства: