Типовая задача оптимизации

,02х1 + 0,04 х2 = 24 (1)

,01х1 + 0,04 х2 = 16 (2)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1): 0,01 х1 = 8.

Тогда х1 = 800 л в день. Подставив найденное значение х1 в уравнение (2), найдем х2:

,01 * 800 + 0,04 х2 = 16.

х2 = 200 л в день.

Следовательно,

max F(х1,х2) = 0,1* 800 + 0,3 * 200 = 140 (ден. ед.)

Ответ: Максимальная ежедневная прибыль от реализации продукции составит 140 ден.ед. при производстве 800 л "Лимонада" и 200 л "Тоника". Если решать задачу на минимум, то компания прибыли не получит и при производстве продукции понесет убытки.

Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;

оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Решение:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Экономико-математическая модель

Обозначим через х1, х2, х3 нормы расхода ресурсов на одно изделие каждого вида соответственно.

Целевая функция - это математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо максимизировать:

max f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3

Ограничения по ресурсам:

3 х1 + 6 х2 + 4 х32000

х1 + 15 х2 + 20 х315000

х1 + 15 х2 + 20 х37400

х2 +5 х31500

х1,2,30

Для того, чтобы найти оптимальный план воспользуемся "Поиском решения" в надстройках Microsoft Excel.

Рис.1 Ввод исходных данных

Рис.2 Ввод зависимости для целевой функции, шаг 1

Рис.3 Ввод зависимости для целевой функции, шаг 2

Рис.4 Введение зависимости для ограничений

Рис.5 Поиск решений

Рис.6 Введение параметров поиска решений

Рис.7 результаты поиска решений